4 Тақырып.  Орташа шамалар

4.1 Статистикалық орташа шамалар ұғымы

          Орташа шама деп біртектес жиынтықты бір вариациялық белгі бойынша сипаттап көрсететін қорытынды көрсеткішті айтады.. Мысалы, жеке саладағы белгілі бір мамандықтың қызметкерлерінің типтік  еңбекақысы жөнінде, республикадағы қазақ жасөспірімдерінің бойларының типтік ұзындығы жөнінде, тиісті нормамен азықтандырған жағдайдағы сиырлардың белгілі бір тұқымынан орта есеппен сүт сауу туралы мәліметтерді  айтуға болады. Орташа шама біртектес жиынтық үшін есептеледі. Егер жиынтық әртекті болса, ол жиынтықты ең алдымен бірнеше біртекті топтарға бөледі. Содан кейін әр топтың орташасын есептейді. Орташа шаманың қолданылуы құбылыстардың әлеуметтік-экономикалық мағыналарына байланысты болады.  Мысалы:
Бір жұмысшының        Жалақы қоры
орташа айлық       =   ----------------------------;
жалақысы, тг.            Жұмысшылар саны

Өнімнің                Өнім өндіруге жұмсалған жалпы  
орташа                                 шығын
өзіндік құны,тг  = ------------------------------------------------------ ;
                                     Өндірілген өнім көлемі
      
Бір дана өнімге          Барлық шығарылған өнімге жұмсалған жалпы уақыт,сағ
жұмсалған орташа =  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­-----------------------------------------------------------------------;
 уақыт шығыны,сағ.               Шығарылған өнімнің саны, дана         

Бір гектардан              Жалпы түсім, ц
алынған орташа = ------------------------     және т.б. 
шығымдылық, га/ц       Жер көлемі, га

Орташа шамалар дәрежелік (арифметикалық,
квадраттық және т.б.) және құрылымдық (мода, медиана) орташаларға бөлінеді.

4.2 Орташа шамаларды есептеу әдістері

1. Дәрежелік орташалар

          Математикалық статистика дәрежелік орташаның  формуласынан  орташа шамалардың бірнеше түрлерін бөліп қарастырады.. Жалпы, орташа шаманы мынадай формула түрінде көрсетуге болады      (4)
Мынадай ұғымдар мен белгілеулер енгіземіз:
X- белгінің орташа мәні;
Х1, Х2,...., Хn – белгілердің жеке мәндері;
f– жиілік, немесе белгілердің жеке мәндерінің қайталануы;
n– жиынтықтағы бірліктердің саны;
z– дәреже көрсеткіші.
Орташа шаманың түрлері:
 Z= -1 – гармониялық орташа,
 Z= 0 –  геометриялық орташа,
Z= +1 – арифметикалық орташа,
Z= +2 – квадраттық орташа,
Z= +3 – кубтық орташа.
             Статистикада арифметикалық орташа шама жиі қолданылады.
Арифметикалық орташа шама деп – есептеу кезінде жиынтықтағы вариациялық белгілердің жалпы мөлшерін өзгертпей сақтайтын белгінің орташа мәнін айтады.
Арифметикалық орташаның екі түрі болады: жай және салмақталған.
Жай арифметикалық  орташа шама белгінің жеке мәндері жинақталмай немесе топтастырылмай берілгенде қолданылады және мынадай формуламен есептеледі:

   ,   (5)

χ1, χ2, χ3, ..., χ,n – белгінің жеке мәндері;
n – жиынтықтағы бірліктердің саны.
.
Мысалы, кәсіпорынның бір бөлімшесінде жұмыс істейтін жұмысшылардың еңбек стажы төмендегідей (19 - кесте):

19 – кесте. Жұмысшылардың еңбек стажы

Осы мәліметтер бойынша бір жұмысшының орташа еңбек стажын есептеу керек.
Жұмысшылардың орташа еңбек стажы 
        Салмақталған арифметикалық  орташа шама белгінің жеке мәндері жиынтықта бірнеше рет қайталанғанда және жинақталып (топтастырылып) берілгенде  қолданылады.  Мынадай формуламен есептеледі:  ,       (6) 

мұндағы χ1, χ2, χ3, ..., χ,n – белгінің жеке мәндері;
f  – жиілік
           Интервалды қатардың орташа шамасы да осы (6) формула бойынша есептеледі. Интервалды вариациялық қатардың орташа шамасын есептеу үшін, ең алдымен интервал ортасын анықтайды.
          Ашық интервал түрінде берілген 1 топтың интервал ортасын табу үшін, сол топтың жоғарғы шегінен 2 топтың интервал ұзындығының жартысын шегереді. Ал соңғы топтағы интервал ортасын табу үшін, сол топтың төменгі шегіне алдыңғы топтың интервал ұзындығының  жартысын қосады.
             Жабық интервал түрінде берілген топтың ортасын табу үшін, сол топтың  жоғарғы және төменгі шектерінің қосындысын 2-ге бөледі. Яғни жай арифметикалық орташамен есептейді.

Арифметикалық орташа шаманың негізгі матаматикалық қасиеттері

1) Егер әр вариантты  (Х) тұрақты бір санға (А) арттырса немесе кемітсе, онда орташа шама сол  тұрақты санның мөлшеріне көп немесе аз болады:

 
,(7)  

2) Егер әр вариантты тұрақты бір санға көбейтсе немесе бөлсе, онда орташа шама сонша есе көп немесе аз болады:
а) варианттарды тұрақты санға бөлген кезде:
                      (8)

б) варианттарды тұрақты санға көбейткен кезде:
                            (9)

3) Егер вариант жиілігін тұрақты санға бөлсе, одан орташа шама өзгермейді:
                  (10)

4) Орташа шамамен жиілік қосындысының көбейтіндісі варианттар мен жиіліктердің көбейтіндісінің қосындысына тең болады:
егер, онда         (11)

5) Варианттардың арифметикалық орташадан ауытқуларының қосындысы нөлге тең болады:
Егер  ,  онда 
                                                                               (12)
Осыдан 

Арифметикалық орташа шамалардың осы қасиеттерін пайдаланып, интервалдары бірдей таратпалы қатардың орташа шамасын  ықшамдалған тәсілмен есептеуге болады.
Бұл тәсілді моменттер тәсілі деп атайды.
Моменттер тәсілі бойынша орташа шама мына формуламен есептеледі:             (13)
m1- бірінші дәрежелі момент;
d – интервал ұзындығы;
А – тұрақты шама (тұрақты шаманың мәні ең үлкен жиілікке сәйкес келетін және қатардың ортасында орналасқан вариантқа тең).

Бірінші дәрежелі момент мына формула бойынша есептеледі:
                                                                                    (14)
Мысалы, төменде жұмысшылардың еңбек стажы бойынша бөлінуі туралы мәліметтер берілген (20 - кесте):

20 – кесте. Жұмысшылардың еңбек стажы бойынша бөлінуі

Осы мәліметтер бойынша жұмысшының орташа еңбек стажын салмақталған арифметикалық орташамен және интервалдары бірдей  қатар берілгендіктен «моменттер тәсілі» бойынша да есептеуге болады:
а) салмақталған арифметикалық орташаның формуласы бойынша:  жыл;
б) «моменттер тәсілі» бойынша: ;
жыл

                  Гармониялық (үйлесімдік) орташа шама
         Белгінің кері мәнімен есептелген орташа шаманы гармониялық орташа дейді. Гармониялық орташаның да жай және салмақталған түрі болады.
         Салмақталған гармоникалық орташа белгінің варианты (х) және варианттың жиілікке көбейтіндісі (xf=М)белгілі болып, жиіліктің (f) өзі белгісіз болғанда қолданылады және  мынадай формуламен есептеледі:

 (15)

Жай гармоникалық орташа М=const болғанда қолданылады:
     (16)
n – вариант саны;    - белгінің кері мәні.

 4.2.2 Құрылымдық орта шамалар

            Құрылымдық орташа шамалар жиынтықтың құрылымын сипаттайды. Олардың қатарына  мода (МО) мен медиана (Ме) жатады.
         Жиынтықтағы ең жиі кездесетін белгінің мәні мода деп аталады.
Таратпалы дискреттік қатарда ең үлкен жиілікке сәйкес келетін вариант мода болады.
Мысалы, 21- кестеде топтағы 10 студенттің жасы туралы мәліметтер берілген:

21 – кесте. Топтағы студенттердің жасы

      Бұл жағдайда модалық жас- 21 жас, себебі басқаларына қарағанда жиі кездеседі.
Интервалды қатарда моданы есептеу үшін мынадай формула қолданылады:
,     (16)
мұндағы,
хмо – модальдық интервалдың төменгі шекарасы;
dmo-  интервалдың ұзындығы;
fmo-  модальдық интервалдың жиілігі;
fmo-1, fmo+1-   тиісінше модальдықтың алдындағы және модальдықтың соңындағы интервалдың жиілігі.
Мысалы, 22 - кестеде цехтағы 30 жұмысшының еңбек стажы туралы мәліметтері берілген.

22 – кесте. Жұмысшылардың еңбек стажы

6-дан 12 жылға дейінгі еңбек стажы бар интервал модалық интервал болып табылады, себебі бұл қатарға ең үлкен жиілік мәні (12) сәйкес келіп тұр.
Моданы 16 формула бойынша есептейміз:

Демек, цехтағы жұмысшылардың басым бөлігінің 8,5 жыл еңбек стажы бар.
              Статистикада реттелген таратпалы қатардың санын теңдей екі бөлікке бөлетін белгінің мәні медиана деп аталады.
Дискретті таратпалы қатарда медиана мынадай тәртіп бойынша есептеледі:
-өсу ретімен орналасқан тақ статистикалық таратпалы қатарлар берілсе, онда медиана қатардың ортасында жатқан белгінің мәніне тең болады. Мысалы, бір топта оқитын 5 студенттің жастары төмендегідей: 17,18,19,20,21. Бұл жағдайда Ме=19 жас болады.

- өсу ретімен орналасқан  жұп статистикалық таратпалы  қатарлар берілсе, онда медиана тең ортада жатқан екі белгінің қосындысының арифметикалық орташасына тең болады. Мысалы, бір топта оқитын 6 студенттің жастары төмендегідей: 17,18,19,20,21, 22. Бұл жағдайда болады.
Медиананы таратпалы интервалдық вариациялық қатардың берілгендері бойынша есептеп шығу төмендегідей формула бойынша жүргізіледі:     (17)
мұндағы хме – медиандық интервалдың төменгі шекарасы;          
         Sме- медиана жиілігіне дейінгі жиіліктердің жинақталған қосындысы
          fме- медиандық интервалдың жиілігі
        dме- интервалдың ұзындығы

17 формула арқылы 22 - кестенің мәліметтерін қолдана отырып, медиананы есептейміз:

жыл
Медиана 30 жұмысшының 15-нің еңбек стажы 10 жылға дейін, қалған 15-нің еңбек стажы 10 жылдан жоғары екенін көрсетеді.
Құрылымдық  орташа шамаларды тек формула бойынша есептеп қана қоймай, сонымен қатар графикпен де көрсетуге болады: моданы – гистограммамен, медиананы – кумулятамен.